\documentclass[12pt, a4paper, oneside]{ctexart}
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\title{\vspace{-4cm}\textbf{河北师范大学数学分析真题}}
\author{杨泽天}
\date{\today}
\linespread{1.5}
\definecolor{shadecolor}{RGB}{241, 241, 255}
\newcounter{problemname}
\def\d{\mathrm{d}}
\newenvironment{problem}{\begin{shaded}\stepcounter{problemname}\noindent\textbf{题目\arabic{problemname}. }}{\end{shaded}}
\newenvironment{solution}{\par\noindent\textbf{解答. }}{\par}
\newenvironment{note}{\par\noindent\textbf{题目\arabic{problemname}的注记. }}{\par}
\pagestyle{plain}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\date{}
\begin{problem}[本题30分]
     
    1.求极限 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots +\frac{1}{n+n} \right)$\\
    2.设 $y=y(x)$可微，且满足 $y=-ye^x+2e^y\sin x-7x$,求$y'(0)$.\\
    3.求球面 $x^2+y^2+z^2=a^2.(a>0)$被平面 $z=\frac{a}{4}$与 $z=\frac{a}{2}$所夹部分的曲面面积.
\end{problem}

\begin{problem}[本题15分]
    设$\left\{ a_n \right\}$是数列\\
    1. 若$\left\{ a_n \right\}$ 单调递增，且有一个子列$\left\{ a_{n_i} \right\}$ 收敛，证明$\left\{ a_n \right\}$收敛.\\
    2.若数列$\left\{ a_n \right\}$的两个子列 $\left\{ a_{2n} \right\}$与$\left\{ a_{2n-1} \right\}$都收敛，且极限相同，证明$\left\{ a_n \right\}$收敛.
\end{problem}
\begin{problem}[本题15分]
    设$f(x)$在$[-1,1]$上有二阶导数，且  $f(-1)=f(1)=\displaystyle\frac{1}{2}$,$\displaystyle|f''(x)|\le \frac{1}{2}$ 证明：\\
    1.$|f'(x)|\le \displaystyle\frac{1}{2},x\in \left[ -1,1 \right]$.\\
    2.$f(x)=x$在 $[-1,1]$ 上有且仅有一个实数根. 
\end{problem}
\begin{problem}[本题15分]
    设 $f(x)$ 在任何有限区间上可积，且 $\displaystyle\lim_{x \to \infty}f(x)=l<+\infty $,证明：
    $\displaystyle\lim_{x\to +\infty }\frac{1}{x}\int_0^xf(t)\d t=l$.  
\end{problem}
\begin{problem}[本题15分]
    设 $f(x,y)$ 是 $D=[a,b]\times [c,d]$ 上的连续函数，$\left\{ \varphi_n(t) \right\},\left\{ \psi_n(t) \right\}$ 在 $[\alpha,\beta]$
    上一致收敛，且 $a\le \varphi_n(t)\le b$ ,$c\le \psi_n(t) \le d$ ,令 $\displaystyle x_n=\int_\alpha^\beta f\left( \varphi_n(t),\psi_n(t) \right)\d t$\\ 
    1.证明数列 $\left\{ x_n \right\}$ 收敛.\\ 
    2.如果把一致收敛的条件改为收敛，结论是否成立？
\end{problem}
\begin{problem}[本题15分]
    设 $f(x)$ 在点 $x=1$ 具有二阶导数，且 $f''(1)=1$ ，$\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x-1}=0$ .令
    $\displaystyle g(x)=\int_0^1f'\left[ 1+(x-1)t \right]\d t$ .求 $g'(1)$ .
    
\end{problem}

\begin{problem}[本题15分]
    设 $f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{\sin{nx}}{\sqrt{n^5+4}}$,证明： \\
    1.$f(x)$ 在 $\left( -\infty ,+\infty  \right)$ 可导.\\
    2.$\displaystyle-\frac{1}{\sqrt{5}}\le f'(\pi) \le -\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{3}$ 
\end{problem}

\begin{problem}[本题15分]
    设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，证明：
    $$ 2\int_a^b \left( f(x) \int_x^bf(t)\d t  \right) \d x = \left( \int_a^b f(x) \d x\right)^2$$
\end{problem}

\begin{problem}[本题15分]
    设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 有定义\\
    1.若 $x_0 \in [a,b]$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点，证明：存在 $x_0$ 的邻域 $U(x_0)$ 使得 $f(x)$ 在 $U(x_0)\bigcap[a,b]$ 有界.\\ 
    2.若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 只有第一类间断点，问 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 是否一定有界？验证你的结论.
\end{problem}
\end{document}